Happy Mathematics Game Challenge: 「ひどいイラスト」が満載のインタラクティブな数学思考ブック

イェール大学で10年以上の経験を持つ天才教師、『ハッピー数学』『クレイジー微積分』に続く新作。 500 冊のコミック、5 つの主要ジャンル、70 以上のインタラクティブな数学ゲーム。一人で、親と一緒に、クラスメイトと一緒に遊び、笑いながら数学的思考の本質を理解しましょう。

編集者の選択

★イェール大学の優秀な教師による10年以上の指導経験をまとめたもので、ベストセラー『ハッピー数学』『ハッピー数学 クレイジー微積分』に続く新作です。

★ 漫画や物語を使用して、子供の数学的理解を向上させます。 500 冊の主要な 5 種類の漫画と 75⁄4 のインタラクティブな数学ゲームで、ゲームで数学的思考の本質を簡単に理解できます。

★必要なのは紙、ペン、数枚のコインだけです。1分で学べ、一生楽しめます。学生たちは健全に社交することができ、親と子供たちは温かく交流することができ、子供たちは楽しんでポジティブなエネルギーのゲームをすることを学ぶことができます。

★ 数学的原理を鮮やかな生活シーンに変えます。グラフ理論、超実数、ゲーム理論…数学は人生と密接に関係しています。

★ 世界中の 70 以上の超古典的な数学ゲームが含まれています。日本の箸ゲーム、イギリスのもやしゲーム、アメリカのチェンジゲーム、フランスのドットチェスゲーム、アルゼンチンのアマゾンチェスゲーム、ポーランドのLAPゲームなど、世界中の数学的思考をゲームで体験できます。

★「文人図書賞」など社会各方面から広く認知されています。国家図書館第17回「文人図書賞」推薦図書、「2022年新発見・人気科学図書リスト」選出、百選・新知識部門選出、中国国立児童図書館推薦図書図書館「四季の子ども読書」2023年夏の冊子。

★学者、校長、数学者、その他多くの権威ある人物によって推奨されています。

簡単な紹介

なぜ数学ゲームが重要なのでしょうか?なぜなら、それらは人間の心の中で最高のものを引き出すからです。 Orlin は、このインタラクティブな数学ゲームのコレクションを使用して、楽しい数学の世界への扉を開き、数学の深い真実を明らかにします。この本には、Ultimate Tic-Tac-Toe、もやしゲーム、Tax Collector、Galaxy Chess など、各国の古典的なゲームが 70 以上収録されており、ロジックから確率、幾何学からトポロジーまでを網羅する 5 つのカテゴリに分かれています。 、組み合わせからゲーム理論まで、数学理論などは、面白く、遊びやすく、数学的にインスピレーションを与えるという 3 つの設計原則に厳密に従っています。最も重要なのは、作者が漫画の形でゲームプレイを説明していることです。多くのゲームはマスターするのに 1 分しかかかりませんが、一生楽しめるかもしれません。

著者について

ベン・オーリン ベン オーリンは数学教師で、絵を描くのはあまり得意ではありませんが、教えるのが得意です。イェール大学の数学学部を卒業し、12 歳から 18 歳までさまざまなレベルで数学を教えてきました。心理学や生物学についても時々話します。 、英語、認識論、さらには地球、科学。
彼はブログ MathWithbadDrawings.com の著者であり、The Atlantic、Slate、Los Angeles Times、Chicago Tribune に数学関連の記事を執筆しています。
中国語で出版された作品：『Happy Mathematics』および『Happy Mathematics: Crazy Calculus』。

目次

序文
第1章 宇宙ゲーム 
   ドットチェス
   発芽ゲーム
   究極の三目並べ
   タンポポ ゲーム
   量子三目並べ
   宇宙ゲームの盛り合わせ
第2章 数字ゲーム 
  お箸ゲーム
  シーケンシャルゲーム
  33から99まで
  ペニーの知恵
  予言ゲーム
 デジタル ゲーム プラッター
第3章 コンビネーションゲーム 
   シムゲーム
   ティーコ ゲーム
   近所のゲーム
   直角ゲーム
   アマゾンチェス
   組み合わせゲームの大皿盛り合わせ
第 4 章 リスクと報酬のゲーム 
   ゲームを弱める
   アルペジオゲーム
   とんでもないゲーム
   紙箱
   レーシングゲーム
   リスク アンド リワード ゲームの盛り合わせ
第5章 情報ゲーム 
   ブルズアイゲーム
   買い手責任負担
   ラップゲーム
   量子釣り
   セサラ ゲーム
   情報ゲーム盛り合わせ
結論
謝辞
よくある問題

序文

序文
本の冒頭をパズルで始めたいと思います。聞いてもいいですか：あなたとチンパンジーの違いは何ですか？
答えは明らかです: チンパンジーは子供の頃はゴリラの赤ちゃんで、その後成長します。あなたは子供の頃はゴリラの赤ちゃんであり、大人になってもゴリラの赤ちゃんのままです。
冗談じゃない、鏡で自分を見てください。滑らかな肌、狭い顎、大きく丸い頭蓋骨 - これらはすべて、大型類人猿のいとこが年をとるにつれて失う特徴であり、あなたも彼らは頑固にそれらを保持していました。成長した。笑うつもりはありませんが、結局のところ、私もそうしてここに来ました。人間は大人になっても子供のような特徴を保持しており、古生物学者スティーブン・ジェイ・グールド[スティーブン・ジェイ・グールド(1941-2002)、有名なアメリカの古生物学者、進化科学者、科学史家に夢中です。代表作に『ダーウィン以来』『フラミンゴの微笑み』『パンダの親指』など。 ——訳者注（特に断りのない限り、すべて訳者注）】 専門用語でいう「不老不死」とは「ネオテニー」であり、霊長類の世界ではこれが人類の特性である。最も驚くべきことは、私たちは小さなオランウータンに似ているだけでなく、真似したり、探検したり、質問したりするなど、彼らのように行動することです。つまり、私たちは遊ぶのが大好きです。
童顔の人間の友人の皆さん、遊ぶのが大好きだからこそ、私たちは才能ある霊長類になれるのです。人類がピラミッドを建設し、月面に足跡を残し、全世界で3,000万枚以上を売り上げたアルバム「アビイ・ロード」を生み出すことができるのは、まさに楽しいことへの愛のおかげです[「アビイ・ロード」、イギリスのロックバンド、ビートルズ] 1969年にリリースされた11枚目のアルバムは、彼らの最後のスタジオアルバムでもありました。 ]。もちろん、私たちは成長するにつれて自然に知恵を身につけるのではなく、子供の頃から愚かな生き物になることを拒否しているからです。人間が動物界よりも優れている秘密は、学習を決してやめないことであり、強い学習能力の秘密は、決して遊びをやめないことです。
それで、何を待っていますか、一緒に遊びましょう！

この本の遊び方
何を準備する必要がありますか?

1. 一般的な日用品。ほとんどのゲームでは紙とペンのみを使用するようにしていますが、ゲームによっては他のものが必要になる場合があります。これらの詳細は各章で詳しく説明されており、最後の表には関連する概要も記載されています (注: 物理的なサイコロを準備する必要はありません。「オンライン サイコロ」を検索すると、サイコロを投げた結果をシミュレートできます)ダイス ガジェット」およびその他のオンライン アプリケーション)。

新しいゲーム自体は、準備するのが最も難しい原材料です。既存のゲームのバリエーションおよび関連ゲームは含まれません。上記の提案は、法律で禁止されている場合には無効です。しかし、お住まいの地域でゲームが法律で禁止されている場合、問題はさらに深刻になります。

2. 遊び仲間。数学の本の多くのゲームは 1 人でプレイすることを目的としていますが、このゲームは違います。この本を書いたときは、新型コロナウイルス感染症の流行により「ソーシャル・ディスタンシング」が提唱された年だったので、この本は社交や集まりへのラブレターとなった。一部のシングルプレイヤー ゲームを除いて、プレイメイトが必要です。さらに、この本は私のような「大きなチンパンジー」向けに書かれていますが、10 歳の子供でも基本的にこの本のすべてのゲームで遊ぶことができ、6 歳くらいの子供に適したゲームもたくさんあります。

3. 本来の自分に戻りましょう。スティーヴン・ジェイ・グールドは次のように書いています：「多くの動物は、幼少期には高度な柔軟性と遊ぶ能力を示しますが、大人になると厳密に確立されたパターンに従います。」 数学教師として、私は認めざるを得ませんが、多くの場合、人間の数学の授業は次のように設計されているように見えますシロアリのような典型的な模倣動物などの他の動物。当然のことながら、これらのレッスンは、しびれ、ぎこちなさ、不安など、私たちの心の最悪の側面を捉えています。この本を読んでいるときは、すべてのことを横に置き、自分の本質、つまり自分の中の最も貴重な子供を呼び起こしてください。

ゲームをする目的は何ですか?人間の心の可能性を最大限に引き出します。

ゲームのルールは何ですか?
1. この本は、「ルール ゲーム」とも呼ばれる、人間のユニークな遊び方を探求します。ルールは、無数のルール (「モノポリー」など) から 1 つ (「地面は溶岩でいっぱい」)、残酷な競争シナリオ (「モノポリー」など) から深い協力が必要なシナリオ (「地面は溶岩でいっぱい」など) まで多岐にわたります。 「マグマ」）、最悪の人類の文化的産物（「モノポリー」など）から最も価値のある人類の文化的産物（「地面はマグマで満たされている」など）まで。
執筆プロセス中、私は常に、豊かで複雑なゲームプレイをサポートできる、シンプルで巧妙なルールを持つゲームを探していました。ことわざにあるように、「習得には 1 分かかりますが、習得するには一生かかります。」

メディアのコメント

深刻になりすぎずに才能と知識が豊富なこの本は、突然「なるほど」という瞬間があったときでも、あなたを笑わせ、賢くなれるでしょう。
—スティーブン・ストロガッツ、コーネル大学数学教授、世界で最も尊敬される数学者の一人

私は微積分と数学の学習について常に 2 つの見解を持っています: ① 発明なしに証明について話すことはできません; 推論なしに定理についてだけ話すことはできません。 ②一件は一万冊の価値があり、一件をよく学べば微積分全体の精神を習得したことになる。本書『Happy Mathematics: Crazy Calculus』は、微積分の根底にある考え方を分析しているだけでなく、非常に興味深い事例も満載です。この本は学習者にも教師にも大きなインスピレーションを与えてくれるので、皆さんにこの本を紹介できることをとても嬉しく思います。
——林群、中国科学院学者、有名な数学者、そして「微積分のおじいちゃん」

数学の全体像は多彩です。時には、自然の中を歩き、その美しさを直接感じるようなものです。 『ハッピー数学 おかしな微積分』を読んだときの感想です。数式も記号も形式的な論理もありません。微積分の起源や論理は常識的な認識に自然に組み込まれています。物語や問いの中に、読者とのつながり 数学的知識がなければ、頭が良いかどうかは関係ありません。
——ウェイ・レン氏、中国数学オリンピック一級コーチ、北京第18中学校党委員会書記

教科書では微積分を学習しながら楽しくクスクス笑わせることはできませんが、ベン・オリンの 2 冊目の本『幸せな数学のための微積分狂気』ならそれができます。この本は、微積分という恐ろしいコースの基礎と発展についてのユニークで興味深い著作です。
——アメリカ数学協会

ベン・オーリンの絵は確かに「下手」だ！幸いなことに、彼はとても賢くて魅力的です。彼の才能により、これらのイラストは、数学の抗しがたい魅力への最も鋭く、最も温かく、最も機知に富んだガイドとなっています。
—ハンナ・フライ、ユニバーシティ・カレッジ・ロンドンの数学者、BBC 司会者

オンライン試し読み

究極の三目並べ

フラクタル構造に関するゲーム

私は 2013 年に数学科のピクニックでこのゲームに出会い、その後それについて記事を書きました。この記事は短期間のインターネット現象を引き起こし、Hacker News で見出しを飾りました [Hacker News が何であるかを知らないと、これは少し奇妙です。 ——著者注]、Reddit のホームページにも掲載されました [Reddit が何なのかを知らないと、それは少し奇妙です。 ——著者注]、さらには小さなモバイル アプリも作成しました [モバイル アプリが何なのか知らなくても、それは普通のことです。 ——著者注】業界。私のキャリアの多くはこのゲームに負っているので、何が特別なのかを深く考えました。ゲームのルールが巧妙だからでしょうか？それともチェスの戦略が複雑ではないからでしょうか？あるいは、アルティメット・フリスビーというスポーツとの間に潜在的なつながりがあるからである［「アルティメット・フリスビー」は英語でUltimate Frisbeeであり、Ultimateとは本来「究極の」という意味である。 】？
近年、私は「Ultimate Tic-Tac-Toe」をかけがえのないものにしているのは、もう 1 つの性質であるフラクタルであることに気づきました (これについてはずっと前に考えておくべきでした)。

空の雲から海岸線、木の枝に至るまで、私たちはフラクタルに囲まれて暮らしています。おそらくそれが、Ultimate Tic-Tac-Toe が非常に自然にプレイできる理由なのかもしれません。これは伝統的な三目並べが常に目指してきたものです。

このゲームの遊び方は？
何を準備する必要がありますか?プレーヤーは 2 人、ペンと紙。大きな三目並べボードを描き、各正方形を小さな三目並べボードで埋めます。

選手の目標は何ですか？一列につなげることができる 3 つの小さなチェス盤を獲得します。

ゲームのルールは何ですか?

(1) 2 人のプレイヤーが順番に自分のマス目をマークします。ゲームの最初のステップは任意のマス目に設定できますが、その後は、対戦相手の以前のアクションに基づいて小さなボード上で操作する必要があります。どうすればいいですか？つまり、どのマスを選択しても、その位置に対応する小さなチェス盤上で次の手を行わなければなりません。
(2) 小さなチェス盤上で一列につながった 3 つのマス目を占領すると、小さなチェス盤の勝ちとなります。このようにして、この小さなチェス盤は閉じられ、相手プレイヤーは他の小さなチェス盤で次のステップを操作する必要があります。
(3) 一列につながった 3 つの小さなチェス盤を占領したプレイヤーが勝ちです。
その他の可能な勝利条件については、「究極の三目並べのバリエーションと関連ゲーム」を参照してください。

ゲーム体験記
2018 年 5 月のある日、私は「538」Web サイト（モデルを構築して分析と予測を行う米国の有名な Web サイト）にいました。 』とニュースを見ていたら、驚くべきニュースの見出しを目にしました。ベテランジャーナリストのオリバー・ローダー氏はこの見出しで「ドナルド・トランプ氏は3Dチェス（美しいインターフェースを備えたチェスソフト）をプレイしているわけではない。彼は究極の三目並べゲームをプレイしている」と書いた。
当時、トランプ大統領の行動を分析するのに多くの時間が費やされた。彼はある政治闘争から別の政治闘争に飛び移り、しばしば気まぐれに議論の主題を変えた。彼は何か大きな計画を実行しているのでしょうか？それとも、自分の内なる狂った衝動に従っているだけですか？ 「彼は3Dチェスをしていると思っているのだろうか？」と批評家はよく皮肉った。
オリバー・ロードも同意する。しかし、彼の見方では、トランプ氏は全く異なるゲームをプレイしている。
チェスの戦場は 1 つだけですが、Ultimate Tic-Tac-Toe には多数の戦場があります。 「これらの戦場は奇妙かつ複雑な方法で相互作用しており、究極の三目並べというよく考えられたゲームさえ、一見すると無計画で単純で、まったくばかげているようにさえ見えます。」とロードは書いています。 「「流動的で常にゴールが変化する」ゲームで、適用可能な戦略には「東側でのスタント、ミスディレクションの遅延、即興」が含まれます。言い換えれば、トランプ流のメディア戦略だ。
これは良い政治でしょうか？そうでないかもしれない。さて、これはゲーム状況としては良いのでしょうか？絶対に。それ以上に、これは素晴らしい空間コンセプトです。大小のチェス盤の間で共鳴するフラクタル ビジョンです。
これにより緊張感のある雰囲気が生まれます。小さなボードではうまく見える動き (中央のマスを占領するなど) が、全体のレイアウトでは間違いであることが判明する場合があります (対戦相手を中央のボードに送り込む)。勝つためには、これら 2 つのレベルのバランスをとり、政治活動家が努めている「グローバルに考え、ローカルに行動する」ことを実行する必要があります。

このゲームはどこから来たのですか?
私が見つけることができる最も古いバージョンは、Tic Tac Toe Times 10 という 1977 年のボード ゲームです。 「Tic Tac Ku」と呼ばれる後のバージョンは、2009 年にメンサ チョイス アワードを受賞しましたが、そのルールは若干異なりました (勝つためには、プレイヤーは 9 枚のミニボードのうち 5 枚をキャプチャする必要がありましたが、一列に接続された 3 枚の小さなボードを占領する必要はありませんでした)。 [このゲームのルールには、すでに勝った小さなボードに送られた場合、たとえそのボードの結果に影響を与えることができなくなったとしても、そこでプレイを続けなければならないとも規定されています。この一見無害に見える変更は、私の『Happy Mathematics』シリーズの最初の本で説明した理由により、最終的にゲームを壊すことになりました。優れたゲーム体験を得るには、占有されたチェス盤を閉じられた競技場として扱う必要があります。 ——著者注]。数年後、「チックタックテン」と呼ばれる電子版が登場し、ゲームのルールが変更されてゲームのスピードが向上しました。つまり、小さなボードを占領するだけで、ゲーム全体に勝利するようになりました。
それでも、2013 年の私のブログ投稿は、このゲームが流行語辞典に登録されたことを示しました。
このゲームにはさまざまな名前があります。 Wikipedia には「スーパー三目並べ」、「戦略的三目並べ」、「バリアント三目並べ」、「二次三目並べ」などが記載されていますが、私が聞いた他の 2 つは省略されています。一番好きなのは「フラクタル三目並べ」、嫌いな「三目並べ空間」。 [言語について真剣に考えている人なら誰でも、負けるキホーテの戦いを戦うことができると思いますが、それは 1 つだけです。 「文字通り」（リテラルは「文字通り」という意味ですが、誇張して本来の意味を失わせるためによく使われます）に激怒するのであれば、「無関係」に激怒することはできません（「無関係」自体は否定的な言葉です。 「irregardless」。「ir」を付けた後は二重否定になるはずですが、話し言葉ではirregardlessは今でも「regardless」として習慣的に使われます） この単語はまたパンチします。 「データ（data）は複数であるべき」の山の上で死ぬ覚悟があるなら、「質問をし、疑問を投げかける」側でも死ぬことはできない（begs the questionは本来「質問をする」という意味だが、実際に使用する場合、「疑問が生じる」という意味で誤用されることがよくあります。あなたにとって最も重要であり、人類の文明がかかっていると信じる戦いを選択しなければなりません。私が選んだ戦いは「始まり」という言葉です。 2010年に公開された注目の映画「インセプション」は、もともと「インセプション」と呼ばれていましたが、「インセプション」とは、他人の心にアイデアを埋め込み、そのアイデアが自分から来たものであるかのように思わせることを指します。これは非常に便利な概念であり、彼らが私に対して同時に（そしてより成功的に）行うのと同じように、私も私の人生の中ですべての人に対してそうしようとしているものです。この映画の忘れられないクライマックスが、夢の中に夢が入れ子になった構造になっているのは残念だ。そのため、人々は「物事の中の物事」を表現するのに「開始」を使うようになり、例えばピザの上にミニピザを乗せると「ピザ受容」になります。私の意見では、ここでの「インセプション」の使用は愚かです。入れ子になった概念 (フラクタル ピザ) の固有名が埋もれてしまうだけでなく、「アイデアの移植」という概念が言葉なしで表現されてしまうからです (" "ピザ「-ception」はもともと「ピザ受容」を意味しました）。しかし、それだけです。もし私に同意していただけるのであれば、お気軽にこの脚注の写真を撮って、Twitter 上の国会議員に送ってください。彼らがそれについて何もできるとは思いませんが、私は彼らが奇妙なツイートで殺到するのを見るのが大好きです。 ——著者のメモ
】 いずれにしても「究極」という言葉が記憶に残りそうです。これはオークランド チャーター高校の生徒たちが考え出したものであるため、私は非常に誇りに思っています。

なぜこのゲームが重要なのでしょうか?
私たちはフラクタルの世界に住んでいるからです。
フラクタルとは、異なるスケールで同じように見えるものです。拡大にも無関心であり、縮小にも無関心です。枝が小さな枝に分かれていく様子がわかりますか?それぞれの枝は全体のミニチュア版です。そして、ギザギザの曲線に沿って走る海岸線は、縮尺が違っても同じように見え、雲のふわふわした構造さえもフラクタル性を持っています。
これらのフラクタルなものに内在する美しさは偶然ではありません。シンプルな設計原則をさまざまなスケールで無限に繰り返すことで、魅力的な複雑さを生み出すことができます。これは、『カオス』の著者ジェームズ・グリック氏が「揺れ動くダイナミックなハーモニー」と呼ぶものです。
19 世紀、フラクタルは数学的な集まりに紛れ込み、招かれざる場違いな存在に見えました。フラクタルがもたらす新しい形状はギザギザで断片的で、説明するのが困難です。数学者は彼らを表現するのに「病気」という言葉を使います。なぜなら彼らは幾何学の規則をすべて破っているからです。
しかし、何十年もの間、誰もこれらの形状を真剣に分類したことはなく、互換性の低いおもちゃのコレクションにすぎませんでした。数学者のブノワ・マンデルブロがそれらを総称して「フラクタル」と呼び、それらを病気ではなく治療法として考え始めたのは 20 世紀になってからです。彼はフラクタルを使って何を癒しているのでしょうか?三角形、四角形、円錐は物理的現実と何の関係もないという、その古い考えは一掃してください。ブノワによれば、本当に病的なのは学校で教える幾何学だという。 「雲は球体ではありません。山は円錐形ではなく、海岸線は円形ではなく、木の皮は滑らかではなく、稲妻は直線的に進みません。」と彼は書いています。
自然はユークリッドの世界に属さず、フラクタルの世界に属します。
プラトンはフラクタル幾何学を嫌っていたに違いありません。古代の哲学者は純粋ユークリッド幾何学を強く信じていたため、宇宙全体は三角形、具体的には学生の悪夢である2種類の「特別な直角三角形」で構成されていると会話の中で主張したことがある。
そうですね、プラトンさん、Instagram でお気に入りの自然アカウントを閲覧してください。直角三角形はいくつ見えますか?
さて、見てみましょう。フラクタルはいくつありますか?フラクタルは直角三角形よりもよく使われますね。
自然はフラクタルガーデンです。山はギザギザの岩の山であり、その上に小さな岩の山があり、さらにその上にさらに小さな岩の山があります。肺の中で、気管は分岐、分岐、分岐を繰り返し、平均 23 回分岐し、最終的には風船のような小さな肺胞を形成して血液に酸素を送ります。つまり、あなたの呼吸はフラクタルから来ています。フラクタル幾何学が誕生する数十年前、地質学者は小川の河床と大きな峡谷を写真で区別するのが難しいことに気づいていたため、縮尺の基準として常にフレームにレンズキャップやハンマーを入れていました。
すべての小さなものは小宇宙であり、すべての大きなものは大宇宙であり、すべてのスケールは互いに響き合います。

もちろん、正確に言うと、私のオフィスの窓の外にある木は無限に分岐するわけではなく、おそらく多くても 8 回までです。しかし、数学者のマイケル・フレームと詩人のアメリア・アリーによる著書『フラクタルの世界』によれば、それだけで十分だという。 「フラクタル」と呼ばれるためには、物には少なくとも 3 つの自己相似レベルが必要です。 Ultimate Tic-Tac-Toe は、正方形で構成される正方形で構成されるゲームとして、この基準に適合します。さらに 1 レベル進んで、これらのゲーム 9 つを組み合わせて 729 マスのボードを作りたい場合は、ご自由にどうぞ。 [この場合、ゲームのルールはどのように調整すればよいでしょうか？最初の 2 つの手によってアクションの位置を決定してみることができます。前の手 (自分の手) によって、どの中型チェス盤でプレイするかが決まり、前の手 (相手の手) で、どの小さなチェス盤でプレイするかが決まります。これに挑戦したい人（そして挑戦する勇気のある人）を待っている世界記録があります。 ——著者注】
私も認めますが、『Ultimate Tic-Tac-Toe』には、『Forked Lightning』のようなドラマが欠けています。それは、人工コンデンサーのフラクタルのような、人工的なフラクタルです トム・ストッパード [トム・ストッパード（1937年生まれ）、イギリスの劇作家、代表作に『恋におちたシェイクスピア』『チューリップ・フィーバー』『インターセプト・コード・ウォーズ』などがある。 ] ドラマにおけるフラクタル、またはサルバドール ダリ [サルバドール ダリ (1904-1989)、スペインの芸術家、20 世紀を代表する画家の一人として知られ、シュルレアリスムの作品で有名。代表作には「記憶の固執」、「アンダルーの犬」と「南北戦争のオーメン」。 
】サルバドール・ダリの絵画におけるフラクタル。それでも、人間の創意工夫のすべての作品と同様に、Ultimate Tic-Tac-Toe は自然の深い井戸、つまりフラクタルで満たされた井戸からインスピレーションを得ています。
「フラクタル構造はプランク長から宇宙全体に存在する可能性があり、おそらく分岐変動が発生するすべての宇宙にわたって存在する可能性があります。私たちが知る限り、より大きなスケール範囲は不可能です。」とマイケルとアメリアは書いています。
おそらく私の生徒たちは、フラクタル三目並べに「究極」という最も適切な名前を付けたとき、このことを念頭に置いていたのでしょう。

バリエーションと関連ゲーム
シングル勝利: 小さなボードを最初にキャプチャしたプレイヤーがゲームに勝ちます。

多数決ルール: 勝つためには、対戦相手よりも多くの小さなボードを占有する必要があります。それらの配置は重要ではなく、重要なのはその数です。

共有領域: 通常のゲームでは、小さなチェス盤が占有されていて、占有されている他の 2 つの小さなチェス盤に接続されていない場合、それは両方のプレイヤーにとって無意味です。ただし、必要に応じて、2 人のプレイヤー間で共有されるものとして扱うことができます (これにより、ボードを 3 回連続で獲得することが容易になります)。

Ultimate Drop Three: Ben Isecke がこのアイデアをくれました。これは、Ultimate Tic-Tac-Toe と Four-Block を組み合わせたものです。ゲームの手順は Ultimate Tic-Tac-Toe と同じですが、X または O をどこに配置しても、その小さなボード上でできるだけ遠くに「ドロップ」する点が異なります。勝者は、ミニ チェス盤上で 1 列に接続できる 3 つの正方形を最初に占有することになります (または、1 列に接続できる 3 つの小さなチェス盤を最初に占有すると決定することもできます)。
各ターンでは、左、中央、右の 3 つの選択肢しかありません。その結果、ゲームはより緊迫してストレスの多いものになりますが、それでも非常に複雑です。

ダブル ゲーム: オリジナルのゲームでは、対戦相手の動きによって次に行う必要があるミニボードの動きが決まりましたが、ダブル ゲームではそれが逆転します。ここで何が起こるかというと、対戦相手の動きによって次にどの小さな正方形を動かさなければならないかが決まりますが、どの小さな正方形を選択するかはあなた次第です。

このゲームを次のように理解することもできます。元のゲームでは、プレイヤーは都市に送られ、その後、プレイヤーは近隣地域の 1 つを選択しました。現行バージョンではあらかじめコミュニティが指定されており、プレイヤーは任意の都市を選択してコミュニティ全体を占領することができる。
これは厳しいゲームだ。一度に一歩ずつ進むのがやっとで、それ以上考えるのが難しいです。最後のステップに必ず注意してください。注意しないと道に迷ってしまいます。